题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是椭圆上两点，有下列三个不等式①a2+b2≥（x+y）2；②
+
≥（
+
）2③
+
≤1．其中不等式恒成立的序号是 ．（填所有正确命题的序号）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| y2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| xx′ |
| a2 |
| yy′ |
| b2 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：依题意知，
+
=1，利用基本不等式及椭圆的有界性质对①②③三个不等式逐一分析判断即可．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
解答：
解：由于 P（x，y）是椭圆
+
=1（a＞b＞0）上的点，则
+
=1，
故①（a2+b2）=（a2+b2）（
+
）=x2+y2+
y2+
x2≥（x+y）2，故①正确；
②（
+
）=（
+
）（
+
）≥（
+
）2，故②也正确；
③由于Q（x′，y′）是椭圆
+
=1（a＞0，b＞0）上的点．
令x=acosθ，y=bsinθ，x′=acosθ1，y′=bsinθ1，
则
=
=cosθcosθ1，
同理可得，
=sinθsinθ1，
∴
+
=cosθcosθ1+sinθsinθ1=cos（θ-θ1）≤1，故③也正确．
故答案为：①②③．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
故①（a2+b2）=（a2+b2）（
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| a2 |
| b2 |
| b2 |
| a2 |
②（
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| y2 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| y2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
③由于Q（x′，y′）是椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
令x=acosθ，y=bsinθ，x′=acosθ1，y′=bsinθ1，
则
| xx′ |
| a2 |
| acosθ•acosθ1 |
| a2 |
同理可得，
| yy′ |
| b2 |
∴
| xx′ |
| a2 |
| yy′ |
| b2 |
故答案为：①②③．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查基本不等式及椭圆的有界性，考查等价转化思想与运算能力，属于中档题．
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已知流程图如图（a=1，b=1下分别是a＞①，b=2b，a=+1）所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填的是（ ）设函数f（x）=ax2+b（a≠0），若∫
f（x）dx=2f（x0），x0＞0，则x0=（ ）
2 0 |
| A、2 | ||||
B、
| ||||
| C、1 | ||||
D、
|
设
，
为单位向量．且
，
的夹角为
，若
=x
+（1-x）
，x∈[0，1]，
=2
则向量
在
方向上的投影的取值范围是（ ）
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| π |
| 3 |
| a |
| e1 |
| e2 |
| b |
| e1 |
| a |
| b |
A、[
| ||
| B、[0，2] | ||
| C、[0，1] | ||
| D、[1，3] |