Question

7．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点（4，0），且其渐近线与圆（x-2）²+y²=3相切，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用已知条件列出方程求解即可．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点（4，0），可得c=4，a²+b²=16，
双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay=0，圆（x-2）²+y²=3的圆心（2，0），半径为$\sqrt{3}$．
渐近线与圆（x-2）²+y²=3相切，
可得：$\frac{|2b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\sqrt{3}$，
解得b=2$\sqrt{3}$，a=2，
所求的双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故选：C．

点评 本题考查圆的方程与双曲线方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．