Question

19．设f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）的奇函数，其导函数为f′（x），且$f（{\frac{π}{2}}）=0$，当x∈（0，π）时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，则关于x的不等式$f（x）＜2f（{\frac{π}{6}}）sinx$的解集为（　　）

• A． $（{-\frac{π}{6}，0}）∪（{0，\frac{π}{6}}）$
• B． $（{-\frac{π}{6}，0}）∪（{\frac{π}{6}，π}）$
• C． $（{-\frac{π}{6}，0}）∪（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）$
• D． $（{-π，-\frac{π}{6}}）∪（{0，\frac{π}{6}}）$

Answer 1

分析 根据条件构造函数$g（x）=\frac{f（x）}{sinx}$，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，根据函数单调性之间的关系解不等式即可．

解答 解：令$g（x）=\frac{f（x）}{sinx}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{sin^2x}$，
∵当x∈（0，π）时，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{sin^2x}$＜0，
即g（x）在（0，π）上递减，在（-π，0）上递增，
当x∈（0，π）时，$g（x）＜g（\frac{π}{6}）⇒\frac{π}{6}＜x＜π$；
当x∈（-π，0）时，$g（x）＞g（-\frac{π}{6}）⇒-\frac{π}{6}＜x＜0$；
故选B．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件造函数$g（x）=\frac{f（x）}{sinx}$，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．