Question

9．在三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为（　　）

• A． $9\sqrt{2}$
• B． $\frac{{27\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$
• D． $27\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出三棱锥的外接球的半径R=3，过A作AE⊥BC，交BC于E，过球心O作OD⊥ABC于D，则D∈AE，且E是△ABC的重心，三棱锥的外接球的半径R=OS=OD=3，AD=$\sqrt{3}$，求出PA=2$\sqrt{6}$，由此能求出该三棱锥的体积．

解答 解：如图，∵在三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，
侧棱SA⊥底面ABC，三棱锥的外接球的体积为36π，
∴三棱锥的外接球的半径R=OS=OD=3，
过A作AE⊥BC，交BC于E，过球心O作OD⊥ABC于D，
则D∈AE，且E是△ABC的重心，
∴AD=$\frac{2}{3}AE$=$\frac{2}{3}\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
O到PA的距离为AD=$\sqrt{3}$，
∴PA=OD+$\sqrt{O{P}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴该三棱锥的体积：
V=$\frac{1}{3}×PA×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{6}×（\frac{1}{2}×3×3×sin60°）$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．