Question

已知定义在R上的任意函数f（x）=lg（10^x+1），x∈R，可以表示成一个奇函数g（x）与偶函数h（x）的和，求g（x）与h（x）解析式．

Answer 1

考点：对数的运算性质,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意：f（x）=g（x）+h（x）=lg（10^x+1），而g（x）是奇函数，h（x）是偶函数，因为f（x）=lg（10^x+1），所以f（-x）=-g（x）+h（x）=lg（10^-x+1）=lg（10^x+1）-x，由此能求出g（x）与h（x）解析式．

解答： 解：根据题意：f（x）=g（x）+h（x）=lg（10^x+1），①
而g（x）是奇函数，h（x）是偶函数，
因为f（x）=lg（10^x+1），
所以f（-x）=-g（x）+h（x）
=lg（10^-x+1）=lg（

10x+1

10x

）=lg（10^x+1）-x，②
①-②得：2g（x）=x，即：g（x）=

x

2

，
①+②得：2h（x）=2lg（10^x+1）-x，
即：h（x）=lg（10^x+1）-

x

2

．

点评：本题考查函数的解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性和对数的性质及运算法则的合理运用．