Question

已知函数f（x）=x+

m

x

且f（1）=2．
（1）判断f（x）在（1，+∞）上的增减性，并证明；
（2）判断f（x）的奇偶性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先根据f（1）=2求出m=1，然后求f′（x），判断f′（x）在（1，+∞）上的符号，从而判断出f（x）在（1，+∞）的增减性；
（2）求f（-x）即可判断f（x）的奇偶性．

解答： 解：（1）f（1）=1+m=2，∴m=1，∴f（x）=x+

1

x

；
f′（x）=1-

1

x2

=

1-x2

x2

；
∴x∈（1，+∞）时，1-x²＜0，f′（x）＜0；
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（2）f（x）的定义域为{x|x≠0}；
f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x）；
∴f（x）是奇函数．

点评：考查导数符号和函数单调性的关系，以及奇偶函数的定义，及判断方法．