题目内容
从点P1（0，0）作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1（0，1），曲线在Q点处的切线与x轴交于点P2．现从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程，可得到一系列点：P1，Q1，P2，Q2，…，则
|PiQi|= ．
| n |
 |
| i=1 |
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,导数的概念及应用,等差数列与等比数列
分析：设出pk-1的坐标，求出Qk-1，利用导数的几何意义函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令y=0得到xk与xk+1的关系．求出|PiQi|的表达式，利用等比数列的前n项和公式求出和．
解答：
解：（Ⅰ）设Pk-1（xk-1，0），
由y=ex得Qk-1（xk-1，exk-1），
则点Qk-1处切线方程为y-exk-1=exk-1（x-xk-1），
由y=0得xk=xk-1-1（2≤k≤n）．
由于x1=0，xk-xk-1=-1，得xk=-（k-1），
则|PiQi|=exi=e-i+1，
故Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
=1+e-1+e-2+…+e-n+1
=
=
，
故答案为：
．
解：（Ⅰ）设Pk-1（xk-1，0），由y=ex得Qk-1（xk-1，exk-1），
则点Qk-1处切线方程为y-exk-1=exk-1（x-xk-1），
由y=0得xk=xk-1-1（2≤k≤n）．
由于x1=0，xk-xk-1=-1，得xk=-（k-1），
则|PiQi|=exi=e-i+1，
故Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|
=1+e-1+e-2+…+e-n+1
=
| 1-e-n |
| 1-e-1 |
| e-e1-n |
| e-1 |
故答案为：
| e-e1-n |
| e-1 |
点评：本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率、考查等比数列的通项和前n项和公式，考查运算能力，属于中档题．
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