Question

4．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16$\sqrt{3}$，则该正四棱锥内切球的表面积为（32-16$\sqrt{3}$）π．

Answer 1

分析 由棱长都相等正四棱锥S-ABCD侧面积为16$\sqrt{3}$，求出棱长为4，设球心为O，四棱锥是S-ABCD，则五个几何体：O-SAB、O-SBC、O-SDC、O-SAD、O-ABCD的体积和等于整个四棱锥的体积，而这五个几何体的高都是球半径r，由此能求出该正四棱锥内切球的表面积．

解答 解：设棱长都相等正四棱锥S-ABCD的棱长为a，
∵其侧面积为16$\sqrt{3}$，
∴4×（$\frac{1}{2}×a×a×sin60°$）=16$\sqrt{3}$，
解得a=4，
过S作SE⊥平面ABCD，垂足为E，连结BE，
则BE=$\frac{1}{2}\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，SE=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
设球心为O，四棱锥是S-ABCD，
则五个几何体：O-SAB、O-SBC、O-SDC、O-SAD、O-ABCD的体积和等于整个四棱锥的体积，
而这五个几何体的高都是球半径r，
∴$4×（\frac{1}{3}×4\sqrt{3}）×r+\frac{1}{3}×4×4×r$=$\frac{1}{3}×（4×4）×2\sqrt{2}$，
解得r=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$，
该正四棱锥内切球的表面积为S=4π（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$）²=（32-16$\sqrt{3}$）π．
故答案为：（32-16$\sqrt{3}$）π．

点评 本题考查正四棱锥内切球的表面积的求法，涉及到正四棱锥、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．