Question

17．已知方程$arctan\frac{x}{2}+arctan（2-x）=a$；
（1）若$a=\frac{π}{4}$，求$arccos\frac{x}{2}$的值；
（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；
（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．

Answer 1

分析 （1）两边取正切列方程解出x，从而可求出arccos$\frac{x}{2}$的值；
（2）两边取正切得出tana关于x的函数，利用不等式得出tana的范围，从而得出a的范围；
（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值．

解答 解：（1）当$a=\frac{π}{4}$时，arctan$\frac{x}{2}$+arctan（2-x）=$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{\frac{x}{2}+（2-x）}{1-\frac{x}{2}•（2-x）}=1$，解得x=-1或x=2，
∴当x=-1时，$arccos\frac{x}{2}$=arccos（-$\frac{1}{2}$）=π-arccos$\frac{1}{2}$=$\frac{2π}{3}$；
当x=2时，arccos$\frac{x}{2}$=arccos1=0，
（2）∵$arctan\frac{x}{2}+arctan（2-x）=a$，
∴tana=$\frac{\frac{x}{2}+（2-x）}{1-\frac{x}{2}（2-x）}$=$\frac{4-x}{{x}^{2}-2x+2}$
当x=4时，tana=0，
当x≠4时，tana=$\frac{1}{4-x+\frac{10}{4-x}-6}$，
∵4-x+$\frac{10}{4-x}$≥2$\sqrt{10}$或4-x+$\frac{10}{4-x}$≤-2$\sqrt{10}$，
∴0＜tana≤$\frac{1}{2\sqrt{10}-6}$或$\frac{1}{-2\sqrt{10}-6}$≤tana＜0，
综上，$\frac{1}{-2\sqrt{10}-6}$≤tana≤$\frac{1}{2\sqrt{10}-6}$，
∴a∈$[arctan\frac{1}{{-2\sqrt{10}-6}}，arctan\frac{1}{{2\sqrt{10}-6}}]$．
（3）由（2）知$\frac{4-x}{{x}^{2}-2x+2}$=tana在[5，15]上有两解α，β，
即tana•x²+（1-2tana）x+2tana-4=0在[5，15]有两解α，β，
∴α+β=$\frac{2tana-1}{tana}$=2-$\frac{1}{tana}$，
∴△=（1-2tana）²-8tana（tana-2）=-4tan²a+12tana+1＞0，解得$\frac{3-\sqrt{10}}{2}$＜tana＜$\frac{3+\sqrt{10}}{2}$且tana≠0．
①若tana＞0，则对称轴$\frac{2tana-1}{2tana}$=1-$\frac{1}{2tana}$＜1，方程在[5，15]上不可能有两解，不符合题意，舍去；
②若tana＜0，令5＜1-$\frac{1}{2tana}$＜15，解得-$\frac{1}{8}$＜tana＜-$\frac{1}{28}$，
又$\left\{\begin{array}{l}{25tana+5（1-2tana）+2tana-4≤0}\\{225tana+15（1-2tana）+2tana-4≤0}\end{array}\right.$，解得tana≤-$\frac{1}{17}$，
综上，$\frac{3-\sqrt{10}}{2}$＜tana≤-$\frac{1}{17}$，
∴当tana=-$\frac{1}{17}$时，α+β取得最大值2+17=19．

点评 本题考查了反三角函数的应用，二次函数的性质，属于中档题．