Question

【题目】已知直角梯形中， ， ， ， 、分别是边、上的点，且，沿将折起并连接成如图的多面体，折后．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）若折后直线与平面所成角的正弦值是，求证：平面平面．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由， 可得平面，从而，结合，根据线面垂直的判定定理可得； 平面，所以；（Ⅱ）作于，连，由（Ⅰ）知，即为与平面所成角，设， ，而直线与平面所成角的正弦值是，即，以 为轴建立坐标系，取的中点，先证明平面的法向量是，再利用向量垂直数量积为零可得平面的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）∵， ，

∴， ，

又， ，

∴平面， ，

又， ，

∴平面， ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可如图建立空间直角坐标系，

作于，连，由（Ⅰ）知，

即为与平面所成角，设， ，

而直线与平面所成角的正弦值是，即．

（或：平面的法向量是， ， ， ，

则）．

易知平面平面于，取的中点，则平面，

而，则平面的法向量是，

（或另法求出平面的法向量是），

再求出平面的法向量，

设二面角是，则，

∴平面平面．