Question

【题目】在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为.

（Ⅰ）求得方程；

（Ⅱ）设点在曲线上， 轴上一点（在点右侧）满足.平行于的直线与曲线相切于点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）直线过定点.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的定义可得得方程；

（Ⅱ）设，则，与抛物线相切的直线为，与抛物线联立得，由得，得点，进而求出直线AD的方程即可得定点.

试题解析：

（Ⅰ）因为动点到点的距离和它到直线的距离相等，

所以动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线.

设的方程为，

则，即.

所以的轨迹方程为.

（Ⅱ）设，则，

所以直线的斜率为.

设与平行，且与抛物线相切的直线为，

由得，

由得，

所以，所以点.

当，即时，直线的方程为，

整理得，

所以直线过点.

当，即时，直线的方程为，过点，

综上所述，直线过定点.