Question

【题目】在数列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋1－an＋an－1＝0 (n≥2，且n∈N*)，若数列{an＋1＋λan}是等比数列．

(1)求实数λ；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)设，求证： .

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：(1)利用新数列为等比数列和递推公式，通过待定系数法进行求解；（2）利用（1）结论得到关于的方程组进行求解；（3）利用放缩法和等比数列的求和公式进行求解.

试题解析：(1)由数列{an＋1＋λan}是等比数列，可设an＋1＋λan＝μ(an＋λan－1) (n≥2)．

∴an＋1＋(λ－μ)an－λμan－1＝0，

∵an＋1－an＋an－1＝0，

∴∴λ＝－或λ＝－3.

(2)解　由(1)知，n≥2，λ＝－时，

an－an－1＝3n－1，①

n≥2，λ＝－3时，an－3an－1＝.②

由①②可得an＝ (n≥2)，当n＝1时，也符合．

∴an＝ (3n－)，n∈N*.

(3)证明　由(2)知，

an＝>0，

∵an－3an－1＝，∴an>3an－1，

∴<·(n≥2)．

∴Sn<＋＝＋－<＋Sn.

∴Sn<.