Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是

π

2

，若将f（x）的图象先向右平移

π

6

个单位，所得函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先求出ω=2，由所得函数g（x）为奇函数，可求得φ的值，从而确定f（x）的解析式；
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得x的范围，从而求得f（x）的单调减区间；令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），从而求得f（x）的单调增区间．

解答： 解：（1）由题意函数f（x）的图象两相邻对称轴之间的距离是

π

2

，可得函数的周期为π，即

2π

ω

=π，ω=2，故函数为f（x）=sin（2x+φ）．
将函数f（x）图象向右平移

π

6

个单位，得到函数g（x）的解析式为 g（x）=sin[2（x-

π

6

）+φ]=sin（2x-

π

3

+φ），
∵函数g（x）为奇函数．
∴-

π

3

+φ=kπ，φ=kπ+

π

3

，k∈Z．
不妨令k=0，则φ取值为

π

3

．
故有f（x）=sin（ωx+φ）=sin（2x+

π

3

）．
（2）因为函数y=sin（2x+

π

3

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ   k∈Z，即kπ-

5π

12

≤x≤

π

12

+kπ（k∈Z），所以函数的单调增区间为：[kπ-

5π

12

，

π

12

+kπ]，k∈Z．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈z，可求得函数的减区间为：[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]，k∈Z．

点评：本题主要考查了正弦函数的图象和单调性，考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基础题．