Question

6．如图，在三棱锥S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC，SB=SC=AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，O为BC中点．
（1）证明：SO⊥平面ABC
（2）求点B到平面SAC的距离；
（3）求二面角A-SC-B的平面角的余弦值．
（友情提示：若建左手系不得分）

Answer 1

分析 （1）由SO⊥BC及平面平面SBC⊥平面ABC，得到平面SBC∩平面ABC=BC，即可得到SO⊥平面ABC，
（2）以OB、OA、OS为x，y，z轴建立直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面SAC的法向量$\overrightarrow{n}$，而，从而可求点B到平面SAC的距离d=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}}{|\overrightarrow{n}|}$|．
（3）由平面SBC的法向量和平面SAC的法向量，可得二面角A-SC-B的余弦值．

解答 解：（1）因为SB=SC，O为BC中点，所以SO⊥BC
而平面平面SBC⊥平面ABC，平面SBC∩平面ABC=BC，所以SO⊥平面ABC，
（2）如图以OB、OA、OS为x，y，z轴建立直角坐标系，得
B（$\sqrt{2}$，0，0），A（0，$\sqrt{2}$，0），S（0，0，$\sqrt{2}$），C（-$\sqrt{2}$，0，0），
$\overrightarrow{SA}=（0，\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{SC}=（-\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}）$．
设平面SAC的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SA}=\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（-1，1，1）$．
$\overrightarrow{SB}=（\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}）$，故点B到平面SAC的距离d=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}}{|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
（3）由已知得平面SBC的法向量$\overrightarrow{OA}$=（0，1，0），平面SAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1）．
∵cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角A-SC-B的余弦值等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，

点评 本题考查点到面的距离，考查面面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，属于中档题．