Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}=2{a_n}-2（n∈{N^*}）$．
（1）求数列{a_n}的通项a_n．
（2）设c_n=（n+1）a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式通过S_n-S_n-1=a_n，推出数列的等比数列，然后求解通项公式．
（2）利用错位相减法求解数列的和即可．

解答 解：（1）∵${S_n}=2{a_n}-2，{S_{n-1}}=2{a_{n-1}}-2（n≥2，n∈{N^*}）$两式相减得S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1，∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2（n≥2，n∈{N^*}）$即数列{a_n}是等比数列．
∴${a_n}=2•{2^{n-1}}={2^n}（n≥2，n∈{N^*}）$，
∵${a_1}={S_1}∴{a_n}={2^n}（n≥1，n∈{N^*}）$．
（2）∵${c_n}=（n+1）{2^n}$${T_n}=2×{2^1}+3×{2^2}+4×{2^3}+…+n×{2^{n-1}}+（n+1）×{2^n}$…①…（7分）$2{T_n}=2×{2^2}+3×{2^3}+4×{2^4}+…n×{2^n}+（n+1）×{2^{n+1}}$…②…（8分）
①-②得$-{T_n}=4+{2^2}+{2^3}+{2^4}+…+{2^n}-（n+1）×{2^{n+1}}$
=$2+[{\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}}]-（n+1）×{2^{（n+1）}}$…（10分）
=2ⁿ⁺¹-（n+1）×2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹…（11分）
∴${T_n}=n•{2^{n+1}}$…（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查计算能力．