Question

17．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M是边OA的中点，G是△ABC的重心，用基向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示向量$\overrightarrow{MG}$的表达式为$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$．

Answer 1

分析 根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．

解答 解：延长AG交BC与点N，则N是BC的中点，
$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}$），
$\overrightarrow{MG}$=$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$．

点评 本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．