Question

12．已知二次函数f（x）=ax²+k+1（a＞0）．
（1）若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0即b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{b}^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$恒成立，即（a-1）²≤0恒成立，从而可求出a，b的值；
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1，可得g（x）=x²+（2-k）x+1，由g（x）在x∈[-2，2]时是单调函数，可得[-2，2]?（-∞，$\frac{k-2}{2}$]或[-2，2]?（$\frac{k-2}{2}$，+∞]，从而得出2≤$\frac{k-2}{2}$或$\frac{k-2}{2}$≤-2，解之即可得出k的取值范围．

解答 解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0即b=a+1，
又对任意实数x均有f（x）≥0成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{b}^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$恒成立，即（a-1）²≤0恒成立
∴a=1，b=2；
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1
∴g（x）=x²+（2-k）x+1
∵g（x）在x∈[-2，2]时是单调函数，
∴[-2，2]?（-∞，$\frac{k-2}{2}$]或[-2，2]?（$\frac{k-2}{2}$，+∞]
∴2≤$\frac{k-2}{2}$或$\frac{k-2}{2}$≤-2，
即实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．

点评 本题考查了函数的恒成立问题及函数单调性的应用，难度一般，关键是掌握函数单调性的应用．