Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x}+1，x＞1}\end{array}\right.$，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{4}$）
• B． （$\frac{3}{4}$，2]
• C． [0，$\frac{3}{4}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，2）

Answer 1

分析 先作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）的关系，确定a，b以及f（a）的取值范围，利用数形结合以及不等式的性质进行求解即可．

解答 解：由函数f（x）的解析式作出其图象如图，则当0≤x≤1时，函数f（x）为增函数，且1≤f（x）≤2，
当x＞1时，函数f（x）为减函数，且1＜f（x）＜$\frac{3}{2}$，
由x+1=$\frac{3}{2}$，得x=$\frac{1}{2}$，
所以，若满足a＞b≥0时，f（a）=f（b），
必有b∈[0，$\frac{1}{2}$），a∈[1，+∞），1＜f（a）＜$\frac{3}{2}$，
则0＜b•f（a）＜$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$，
由不等式的可乘积性得：b•f（a）∈（0，$\frac{3}{4}$），
故选：A．

点评 本题考查分段函数的应用，根据条件作出函数f（x）的图象，利用数形结合是解决本题的关键．