Question

已知函数f（x）=x²+3|x-a|（a∈R）．若f（x）在[-1，1]上的最小值记为g（a）．
（Ⅰ）求g（a）；
（Ⅱ）证明：当x∈[-1，1]时，恒有f（x）≤g（a）+6．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）讨论x取值，去掉绝对值得到f（x）=

x2+3x-3a x≥a x2-3x+3a x＜a

，然后讨论a和区间[-1，1]的关系，从而找到f（x）在区间[-1，1]上的解析式，而根据解析式由二次函数的单调性即可求出函数数f（x）在[-1，1]上的最小值．
（Ⅱ）根据上一问求函数f（x）在[-1，1]上最小值的方法求出它在[-1，1]上的最大值，并证明或得出该最大值小于等于g（a）+6即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

x2+3x-3a x≥a x2-3x+3a x＜a

；
∴①若a＜-1，则x∈[-1，1]时，f（x）=x²+3x-3a，该函数对称轴为x=-

3

2

；
∴该函数在[-1，1]上单调递增；
∴g（a）=f（-1）=-2-3a；
②若-1≤a≤1，则x∈[-1，a）时，f（x）=x²-3x+3a，该函数对称轴为x=

3

2

；
∴该函数在[-1，a）单调递减；
∴f（x）＞f（a）=a²；
x∈[a，1]时，f（x）=x²+3x-3a；
∴该函数在[a，1]上单调递增；
∴f（x）≥f（a）=a²；
∴g（a）=a²；
③若a＞1，则x∈[-1，1]时，f（x）=x²-3x+3a；
∴该函数在[-1，1]上单调递减；
∴g（a）=f（1）=-2+3a；
综上得，g（a）=

-2-3a a＜-1 a2 -1≤a≤1 -2+3a a＞1

；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，①a＜-1时，f（x）≤f（1）=4-3a=g（a）+6；
②-1≤a≤1时，f（x）≤4+3a，或f（x）≤4-3a；
g（a）+6-4-3a=a²-3a+2；
∵a≤1；
∴a²-3a+2≥0；
∴g（a）+6≥4+3a；
∴f（x）≤g（a）+6；
同理，f（x）≤4-3a时，也可得到f（x）≤g（a）+6；
③a＞1时，f（x）≤4+3a=g（a）+6；
综上得，当x∈[-1，1]时，恒有f（x）≤g（a）+6．

点评：考查处理含绝对值函数的方法：讨论x取值，去掉绝对值，以及根据二次函数的单调性求二次函数的最值，以及解决分段函数问题的方法．