Question

已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx-

π

6

）+1（ω＞0）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在[

π

8

，

3π

8

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，利用两角差的正弦公式，将sin（ωx-

π

6

）化简，然后，结合三角恒等变换公式，进行化简，最后，结合周期公式，进一步确定ω的值，从而得到函数的单调区间；
（Ⅱ）直接利用三角函数的图象与性质进行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4cosωxsin（ωx-

π

6

）+1
=2

3

sinωxcosωx-2cos²ωx+1
=

3

sin2ωx-cos2ωx
=2sin（2ωx-

π

6

），
∵函数f（x）的最小正周期是π，
∴T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，
∴f（x）的单调递增区间[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，（k∈z）；
（Ⅱ）∵x∈[

π

8

，

3π

8

]，
∴（2x-

π

6

）∈[

π

12

，

7π

12

]，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）∈[

6 - 2

2

，2]，
∴f（x）在[

π

8

，

3π

8

]上的最大值2，最小值

6 - 2

2

．

点评：本题重点考查了两角和与差的三角函数，三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．