Question

已知f（x）=log₂（2x-x²），且关于x的方程2^f（x）=kx+1有两个不相等的实根x₁，x₂．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求k的取值范围M；
（3）是否存在实数n，使得不等式n²+tn+1＞2|x₁-x₂|对任意的k∈M及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数的解析式可得2x-x²＞0，由此求得函数f（x）的定义域．
（2）关于x的方程2^f（x）=kx+1，即 x² +（k-2）x+1=0．令g（x）=x² +（k-2）x+1，则由题意可得

△=(k-2)2-4＞0 g(0)=1＞0 g(2)=4+2k-4+1＞0 0＜ 2-k 2 ＜2

．由此求得k的范围，可得集合M．
（3）由（2）可得，|x₁-x₂|=

(k-2)2-4

∈（0，

3

2

）．假设存在实数n，使得不等式n²+tn+1＞2|x₁-x₂|对任意的k∈M及t∈[-1，1]恒成立，则有

n2-n+1≥3 n2+n+1≥3

，由此求得n的范围，可得结论．

解答： 解：（1）由题意可得2x-x²＞0，求得0＜x＜2，故函数f（x）的定义域为（0，2）．
（2）关于x的方程2^f（x）=kx+1，即 2x-x² =kx+1，即 x² +（k-2）x+1=0．
令g（x）=x² +（k-2）x+1，则由题意可得

△=(k-2)2-4＞0 g(0)=1＞0 g(2)=4+2k-4+1＞0 0＜ 2-k 2 ＜2

．
解得-

1

2

＜k＜0∴M=（-

1

2

，0）．
（3）由（2）可得，|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

(k-2)2-4

∈（0，

3

2

）．
假设存在实数n，使得不等式n²+tn+1＞2|x₁-x₂|对任意的k∈M及t∈[-1，1]恒成立，
 则有

n2-n+1≥3 n2+n+1≥3

，解得n≤-2，或 n≥2，
故存在实数n∈（-∞，-2]∪[2，+∞），使得题中条件成立．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，二次函数的性质，属于中档题．