Question

（文科实验做）已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（1）若曲线y=g（x）有平行于x轴的切线，求a的取值范围；
（2）若当x=-1，y=g（x）取得极值，且g（x）-k=0在[-2，-

1

2

]上有两个根，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）利用偶函数的定义列出恒成立的等式，求出b的值；将点（2，5）代入y=f（x）求出c的值；求出g（x）的导函数，令导函数等于0有实根，令方程的判别式大于等于0求出a的范围．
（2）令导函数在x=1处的值为0，求出a的值；令g（x）的导函数大于0得到g（x）的单调递增区间，令导函数小于0得到g（x）的单调递减区间，可得g（x）在（-2，-1）上为增函数，在（-1，-

1

2

）上为减函数，利用g（x）-k=0在[-2，-

1

2

]上有两个根，求k的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+bx+c为偶函数，
故f（-x）=f（x）
即有（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c，解得b=0
又曲线y=f（x）过点（2，5），得2²+c=5，有c=1
∵g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a
从而g′（x）=3x²+2ax+1，
∵曲线y=g（x）有平行于x轴的切线，即曲线y=g（x）有斜率为0的切线，
∴有g′（x）=0有实数解．
即3x²+2ax+1=0有实数解．
此时有△=4a²-12≥0
解得a≤-

3

或a≥

3

所以实数a的取值范围：a≤-

3

或a≥

3

；
（2）因x=-1时函数y=g（x）取得极值，
故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，解得a=2
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
故g（x）在（-2，-1）上为增函数，在（-1，-

1

2

）上为减函数
∵g（-2）=0，g（-

1

2

）=

15

8

，g（-1）=2，g（x）-k=0在[-2，-

1

2

]上有两个根，
∴k的取值范围是[

15

8

，2）．

点评：解决函数的奇偶性问题，一般利用奇函数、偶函数的定义找关系；注意具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称；利用导数判断函数的单调性：导函数大于0则函数递增；导函数小于0则函数递减．