Question

已知函数y=f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，（n∈N*），并且对于任意的n∈N*函数y=f（x）的图象恒经过点（1，n²），
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求f（-1）（用n表示）
（Ⅲ）求证：若n≥2（n∈N*），则有

5

4

≤f（

1

2

）＜3．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=f（1）=n²，由此能求出a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）n为偶数时，f（-1）=n，n为奇数时，f（-1）=-n，由此能求f（n）=（-1）ⁿn．n∈N^*．
（Ⅲ）由f（

1

2

）=

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

an

2n

，得f（

1

2

）=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，由此能求出若n≥2（n∈N^*），则有

5

4

≤f（

1

2

）＜3．

解答： （本题满分14分）
（Ⅰ）解：设数列{a_n}的前n项和为S_n，
则S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=f（1）=n²，…（1分）
当n=1时，a₁=S₁=1，…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²2n-1，…（3分）
∵n≥2时，a_n=2n-1对于n=1也同样适用，
∴a_n=2n-1，n∈N^*．…（4分）
（Ⅱ）解：n为偶数时，f（-1）=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）=

n

2

•2=n，…（5分）
n为奇数时，f（-1）=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）+…+（a_n-1-a_n-2）-a_n
=

n-1

2

•2-(2n-1)=-n，…（6分）
∴f（n）=（-1）ⁿn．n∈N^*．…（7分）
（Ⅲ）证明：∵f（

1

2

）=

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

an

2n

，
∴f（

1

2

）=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，…（8分）
当n=2时，f（

1

2

）=

1

2

+

3

2n

=

5

4

，…（9分）
当n≥3时，f（

1

2

）=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

＞

1

2

+

3

22

=

5

4

，…（10分）
∵f(

1

2

)=

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

an

2n

，…①
∴

1

2

f(

1

2

)=

a1

22

+

a2

23

+

a3

24

+…+

an

2n+1

，…②…（11分）
由①-②得

1

2

f(

1

2

)=

a1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

，
即

1

2

f(

1

2

)=

1

2

+2×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴f（

1

2

）=3-

2n+3

2n

，…（12分）
∵

2n+3

2n

＞0，∴f（

1

2

）=3-

2n+3

2n

＜3，…（13分）
∴若n≥2（n∈N*），则有

5

4

≤f（

1

2

）＜3．…（14分）

点评：本题考查数列{a_n}的通项公式的求法，考查f（-1）的求法，考查n≥2（n∈N^*），则有

5

4

≤f（

1

2

）＜3的证明，解题时要注意错位相减法的合理运用．