题目内容
已知{an}，{bn} 均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn．
（1）若平面内三个不共线向量
，
，
满足
=a3
+a15
，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使Sn为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由；
（2）若对 n∈N+，有
=
，求使
为整数的正整数n的集合．
（1）若平面内三个不共线向量
| OA |
| OB |
| OC |
| OC |
| OA |
| OB |
（2）若对 n∈N+，有
| Sn |
| Tn |
| 31n+101 |
| n+3 |
| an |
| bn |
考点：数列与向量的综合,数列的求和
专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用
分析：（1）根据平面向量的基本定理和A，B，C三点共线，以及等差数列的性质和求和公式，即可求出定值；
（2）根据等差数列的求和公式得到
=
=
=
=31+
，继而求出正整数n的集合．
（2）根据等差数列的求和公式得到
| an |
| bn |
| a1+a2n-1 |
| b1+b2n-1 |
| S2n-1 |
| T2n-1 |
| 3ln+101 |
| n+3 |
| 4 |
| n+1 |
解答：
解：（1）∵A，B，C三点共线．
∴?λ∈R，使
=λ
，
-
=λ（
-
），
即
=（1-λ）
+λ
，
又平面向量的基本定理得，
，消去λ得到a3+a15=1，
∵a3+a15=a1+a17=1，
∴S17=
×17×（a1+a17）=
即存在n=17时，S17为定值
．
（2）由于
=
=
=
=31+
根据题意n+1的可能取值为2，4，
所以n的取值为1或3，
即使
为整数的正整数n的集合为{1，3}
∴?λ∈R，使
| AC |
| AB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
即
| OC |
| OA |
| OB |
又平面向量的基本定理得，
|
∵a3+a15=a1+a17=1，
∴S17=
| 1 |
| 2 |
| 17 |
| 2 |
即存在n=17时，S17为定值
| 17 |
| 2 |
（2）由于
| an |
| bn |
| a1+a2n-1 |
| b1+b2n-1 |
| S2n-1 |
| T2n-1 |
| 3ln+101 |
| n+3 |
| 4 |
| n+1 |
根据题意n+1的可能取值为2，4，
所以n的取值为1或3，
即使
| an |
| bn |
点评：本题主要考查了向量以及等差数列的通项公式和求和公式的应用．考查了学生创造性解决问题的能力，属于中档题
练习册系列答案
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