Question

20．等比数列{a_n}的首项a₁＞0，公比为q（|q|＜1），满足a₂+a₃+…+a_n+…≤$\frac{{a}_{1}}{2}$，则公比q的取值范围是（-1，0）∪（0，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 对等比数列的前n项和取极限列不等式解出q即可．

解答 解：∵a₂+a₃+…+a_n+…=$\underset{lim}{n→+∞}$S_n-a₁=$\underset{lim}{n→+∞}$$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$-a₁=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-a₁，
∴$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-a₁≤$\frac{{a}_{1}}{2}$，a₁＞0，
∴$\frac{1}{1-q}$≤$\frac{3}{2}$，又|q|＜1
解得-1＜q≤$\frac{1}{3}$，又q≠0，
∴q的范围是（-1，0）∪（0，$\frac{1}{3}$]．
故答案为：（-1，0）∪（0，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式，不等式的解法，属于中档题．