Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=PA=2，E，F分别为PB，AD的中点．
（1）证明：AC⊥EF；
（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AB=t，可得相关各点的坐标，AC⊥BD，可得

AC

•

BD

=-t²+2+0=0，求出t，进而证明

AC

⊥

EF

，可得AC⊥EF；
（2）求出平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得直线EF与平面PCD所成角的正弦值．

解答： 解：（1）易知AB，AD，A P两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设AB=t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E(

t

2

，0，1)F（0，1，0）．…（2分）
从而

EF

=（-

t

2

，1，-t），

AC

=（t，1，0），

BD

=（-t，2，0）．
因为AC⊥BD，所以

AC

•

BD

=-t²+2+0=0．
解得t=

2

或t=-

2

（舍去）．                      …（4分）
于是

EF

=（-

2

2

，1，-1），

AC

=（

2

，1，0）．
因为

AC

•

EF

=-1+1+0=0，所以

AC

⊥

EF

，即AC⊥EF．    …（6分）
（2）由（1）知，

PC

=（

2

，1，-2），

PD

=（0，2，-2）．
设

n

=（x，y，z）是平面PCD的一个法向量，则

2 x+y-2z=0 2y-2z=0

令z=

2

，则

n

=（1，

2

，

2

）．                          …（9分）
设直线EF与平面PCD所成角为θ，则sinθ=|cos＜

n

，

EF

＞|=

1

5

．
即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为

1

5

．…（12分）

点评：本题考查直线与直线垂直的性质，直线与平面所成的角，考查逻辑思维能力，计算能力，是中档题．