Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos²

A+B

2

=1-cos2C，c-b=4，且a，b，c成等差数列，则△ABC的面积为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,等比数列的通项公式

专题：解三角形

分析：t通过三角函数的内角和以及二倍角公式求出C的值，利用已知条件以及余弦定理，等差数列，通过解方程求出a，b即可求解三角形的面积．

解答： 解：∵cos

A+B

2

=cos（

π

2

-

C

2

）=-sin

C

2

，cos2C=2cos²C-1，
∴2cos²（

A+B

2

）+cos2C=2sin²

C

2

+cos2C=（1-cosC）+2cos²C-1=1，
整理可得cosC=-

1

2

，或cosC=0
又C为三角形的内角，
则C=

2π

3

；
c-b=4…①，且a，b，c成等差数列，∴2b=a+c…②，c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab…③，
解①②③可得a=6，b=10，
△ABC的面积S=

1

2

absinC=15

3

，
故答案为：15

3

．

点评：本题考查余弦定理，等差数列，二倍角的余弦函数，诱导公式的应用，是难度不大的综合题目．