Question

2．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）证明：对任意实数x，m，不等式f（x）＜m²-3m+3恒成立；
（3）试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1+q（f（x）+$\frac{1}{2}$）在区间[0，2]上的值域为[$\frac{7}{5}$，2]，若存在，求出正数q；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用奇函数的性质：f（x）在x=0处有意义，则f（0）=0，可得a=1，再由f（-1）=-f（1），可得b=2；
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=-$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$，易知函数f（x）在R上单调递减，f（x）$∈（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，又m²-3m+3=（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$$≥\frac{3}{4}＞\frac{1}{2}$，即可证明．
（3）可得q（f（x）+$\frac{1}{2}$）在区间[0，2]上的值域为[$\frac{2}{5}$，1]，易知函数f（x）在R上单调递减，当x∈[0，2]时，2^x+1∈[2，5]，⇒q（f（x）+$\frac{1}{2}$）∈$\frac{q}{5}，\frac{q}{2}$]，即q=2符合题意，

解答 解：（1）f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）=0，
则a-2⁰=0，解得b=1，
又f（-1）+f（1）=0，即$\frac{-{2}^{-1}+1}{{2}^{0}+a}+\frac{-2+1}{{2}^{2}+a}=0$，解得，a=2，
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=-$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$
易知函数f（x）在R上单调递减，∵2^x+1＞1，∴$\frac{1}{{2}^{x}+1}∈（0，1）$
∴f（x）$∈（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$
m²-3m+3=（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$$≥\frac{3}{4}＞\frac{1}{2}$
对任意实数x，m，不等式f（x）＜m²-3m+3恒成立．
（3）∵函数g（x）=1+q（f（x）+$\frac{1}{2}$）在区间[0，2]上的值域为[$\frac{7}{5}$，2]，
∴q（f（x）+$\frac{1}{2}$）在区间[0，2]上的值域为[$\frac{2}{5}$，1]，
∵f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=-$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$，∴函数f（x）在R上单调递减，
当x∈[0，2]时，2^x+1∈[2，5]，⇒q（f（x）+$\frac{1}{2}$）∈$\frac{q}{5}，\frac{q}{2}$]
∴q=2符合题意，

点评 本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查、了函数的单调性、运算能力，属于中档题