Question

14．已知函数$f（x）={x^3}-\frac{（3+a）}{2}{x^2}+ax$在（1，2）上不存在最值，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （1，2）
• B． （-∞，1]∪[2，+∞）
• C． （-∞，3]∪[6，+∞）
• D． （3，6）

Answer 1

分析 要使函数$f（x）={x^3}-\frac{（3+a）}{2}{x^2}+ax$在（1，2）上不存在最值，只需函数f（x）在区间（1，2）上单调即可，即f'（x）=3x²-（a+3）x+a=0在区间（1，2）上无解，即可求实数a的取值范围．

解答 解：f'（x）=3x²-（a+3）x+a；要使函数$f（x）={x^3}-\frac{（3+a）}{2}{x^2}+ax$在（1，2）上不存在最值，
只需函数f（x）在区间（1，2）上单调即可，即3x²-（a+3）x+a=0在区间（1，2）上无解；
a（x-1）=3x（x-1）在区间（1，2）上无解，a=3x在区间（1，2）上无解；，
x∈（1，2）时，3x∈（3，6），
实数a的取值范围为：（-∞，3]∪[6，+∞）．
故选：C

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．