Question

19．如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，VA=VB=4，AC=BC=2且AC⊥BC，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB；
（3）求三棱锥V-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出OM∥VB，由此能证明VB∥平面MOC．
（2）推导出CO⊥AB，从而CO⊥平面VAB，由此能证明平面MOC⊥平面VAB．
（3）三棱锥V-ABC的体积V_V-ABC=V_C-VAB，由此能求出结果．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）∵O，M分别为AB，VA的中点，
∵OM∥VB，
又VB?平面MOC，MO?平面MOC，
∴VB∥平面MOC． …（4分）
（2）∵AC=BC，且O是AB的中点，
∴CO⊥AB
又平面VAB⊥平面ABC，
∴CO⊥平面VAB，
又CO?平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB．…（8分）
解：（3）∵AC⊥BC，且AC=BC=2，
∴$AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=2\sqrt{2}$，
连VO，又VA=VB=4，所以$VO=\sqrt{V{A^2}-A{O^2}}=\sqrt{14}$，
由（2）知：CO⊥平面VAB，
∴三棱锥V-ABC的体积：
${V_{V-ABC}}={V_{C-VAB}}=\frac{1}{3}{S_{△VAB}}CO=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{14}×\sqrt{2}=\frac{{2\sqrt{14}}}{3}$． …（12分）

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．