Question

9．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x（单位：千克） 清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y（单位：微克） 的统计表：

x	1	2	3	4	5
y	58	54	39	29	10

（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x与y的相关性；
（2）若用解析式$\widehaty=c{x^2}+d$作为蔬菜农药残量$\widehaty$与用水量x的回归方程，令ω=x²，计算平均值$\overlineω$与$\overline y$，完成以下表格（填在答题卡中），求出$\widehaty$与x的回归方程．（c，d精确到0.1）

ω	1	4	9	16	25
y	58	54	39	29	10
${ω_i}-\overlineω$	-10	-7	-2	5	14
${y_i}-\overline y$	20	16	1		-28

（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请
估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据$\sqrt{5}≈2.236$）
（附：线性回归方程$\widehaty=bx+a$中系数计算公式分别为；$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$a=\overline y-b\overline x$）

Answer 1

分析 （1）根据题意描出散点图，根据散点图判断变量x与y的相关性；
（2）计算$\overline{ω}$、$\overline{y}$，填表即可，求出回归系数，写出回归方程；
（3）求$\widehaty＜20$时x的取值范围即可．

解答 解：（1）在下面的坐标系中，描出散点图如图所示，
根据散点图知变量x与y负相关；

（2）计算$\overline{ω}$=$\frac{1}{5}$×（1²+2²+3²+4²+5²）=11，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（58+54+39+29+10）=38；
填表如下；

ω	1	4	9	16	25
y	58	54	39	29	10
${ω_i}-\overlineω$	-10	-7	-2	5	14
${y_i}-\overline y$	20	16	1	-9	-28

计算$c=\frac{{-10×20+（{-7}）×16+（{-2}）×1+5×（{-9}）+14×（{-28}）}}{{{{（{-10}）}^2}+{{（{-7}）}^2}+{{（{-2}）}^2}+{5^2}+{{14}^2}}}=\frac{751}{374}=-2.008≈-2.0$，
$d=\overline y-c\overlineω=38+2.0×11-60.0$，
∴回归方程为$\widehaty=-2.0ω+60.0=-2.0{x^2}+60.0$；
（3）当$\widehaty＜20$时，-2.0x²+60.0＜20，
解得x＞2$\sqrt{5}$≈4.5，
∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜．

点评 本题考查了非线性相关的二次拟合问题，也考查了线性回归方程的计算问题，是综合题．