Question

如图，海上有A，B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°，现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OC=BO．设AC=xkm．
（1）若AO=

10 3

3

km，求出x的取值；
（2）用x分别表示OA²+OB²和OA•OB，并求出x的取值范围．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：计算题,应用题,解三角形

分析：（1）在△OAB中由余弦定理知：AB²=OA²+OB²-2•OA•OB•cos60°，从而解得：OB=

20 3

3

．在△OAC中，由余弦定理知：AC²=OA²+OC²-2•OA•OC•cos120°，即可解得AC的值．
（2）在△OAC中由余弦定理得，OA²+OC²-2OA•OC•cos120°=x²，可解得OA²+OB²-2OA•OB•cos120°=x² ①，…在△OAB中，由余弦定理得OA²+OB²-2OA•OB•cos60°=100 ②，从而OA•OB=

x2-100

2

，又由OA²+OB²≥2OA•OB，可得x²≤300，又OA•OB=

x2-100

2

＞0，所以解得10＜x≤10

3

．

解答： 解：（1）在△OAB中，AO=

10 3

3

km，∠AOB=60°，AB=10km，
由余弦定理知：AB²=OA²+OB²-2•OA•OB•cos60°，
即有：100=

100

3

+OB²-2×

10 3

3

×OB×

1

2

，从而解得：OB=

20 3

3

．
在△OAC中，OC=OB=

20 3

3

，OA=

10 3

3

，∠AOC=120°，
由余弦定理知：AC²=OA²+OC²-2•OA•OC•cos120°，
即有：AC²=

400

3

+

100

3

-2×

20 3

3

×

10 3

3

×(-

1

2

)=

700

3

，从而解得：AC=

10 21

3

．
（2）在△OAC中，∠AOC=120°，AC=x，
由余弦定理得，OA²+OC²-2OA•OC•cos120°=x²，
又OC=BO，
所以OA²+OB²-2OA•OB•cos120°=x² ①，…（7分）
在△OAB中，AB=10，∠AOB=60°
由余弦定理得，
OA²+OB²-2OA•OB•cos60°=100 ②，…（9分）
①+②得OA²+OB²=

x2+100

2

，
①-②得4OA•OB•cos60°=x²-100，即OA•OB=

x2-100

2

，…（10分）
又OA²+OB²≥2OA•OB，所以

x2+100

2

≥2x

x2-100

2

，即x²≤300，
又OA•OB=

x2-100

2

＞0，即x²＞100，所以10＜x≤10

3

      …（12分）

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，考查了转化思想，属于中档题．