Question

18．求函数y=sin²x+3cosx+2，|x|≤$\frac{π}{3}$的最值．

Answer 1

分析 利用平方关系化简解析式，设t=cosx，由x的范围、余弦函数的图象与性质求出t的范围，代入原函数后利用配方法化简，由一元二次函数的图象与性质求出函数的最值．

解答 解：由题意得，y=sin²x+3cosx+2
=-cos²x+3cosx+3，
设t=cosx，由|x|≤$\frac{π}{3}$得$t∈[\frac{1}{2}，1]$，
原函数化为：y=-t²+3t+3=$-（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{21}{4}$，
∴y=-t²+3t+3在区间$[\frac{1}{2}，1]$上递增，
则当t=$\frac{1}{2}$时，即x=±$\frac{π}{3}$时，函数取到最小值是$\frac{17}{4}$，
当t=1时，即x=$\frac{π}{2}$时，函数取到最大值是5．

点评 本题考查了利用换元法求三角函数的最值，平方关系、余弦函数的图象与性质，以及一元二次函数的图象与性质，考查化简、变形能力．