Question

3．y=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$（1≤x≤3）的值域为[4，5]．

Answer 1

分析 利用分离常数法与不等式相结合求函数的值域．

解答 解：∵函数y=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$=$x+\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，
当且仅当x=2时，取等号．
故得函数的最小值为4，
利用勾勾函数的性质可知：
当x在（1，2）时，是单调递减，
当x在（2，3）时，是单调递增，
当x=1时，y=5，
当x=3时，y=$\frac{13}{3}$．
故函数y的最大值为5．
所以y=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$（1≤x≤3）的值域为[4，5]．
故答案为：[4，5]．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．