Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且S_n=

an(an+1)

2

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=-

2Sn

(n+1)•2n

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用2S_n=an2+a_n，知当n≥2时，2S_n-1=an-12+a_n-1，两式相减，可求得a_n-a_n-1=1，n≥2，从而可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）依题意，易求b_n=-

n

2n

，利用错位相减法即可求得T_n．

解答： 解：（1）Sn=

an(an+1)

2

，n∈N+，当n=1时，S1=

a1(a1+1)

2

，∴a₁=1…（1分）
∵2S_n=an2+a_n，
当n≥2时，2S_n-1=an-12+a_n-1，
两式相减得：2an=2(Sn-Sn-1)=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1，…（3分）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，n≥2，…（5分）
∴数列{a_n}是等差数列，∴a_n=n…（6分）
（2）由（1）Sn=

n(n+1)

2

，
∴bn=-

2Sn

(n+1)•2n

=-

n

2n

，…（8分）
∴-Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，…（9分）
-2Tn=1+

2

2

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，…（10分）
∴Tn=-1-

1

2

-…-

1

2n-1

+

n

2n

=-

1- 1 2n

1- 1 2

+

n

2n

=-2+

1

2n-1

+

n

2n

=-2+

n+2

2n

．…（12分）．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定与其通项公式的应用，考查错位相减法求和，属于中档题．