Question

已知{a_n}是等差数列，首项a₁=3，前n项和为S_n．令cn=(-1)nSn(n∈N*)，{c_n}的前20项和T₂₀=330．数列{b_n}是公比为q的等比数列，前n项和为W_n，且b₁=2，q³=a₉．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：(3n+1)Wn≥nWn+1(n∈N*)．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a₂+a₄+a₆+…+a₂₀=330，解得d=3，由此利用题设条件能求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Wn=

2(1-3n)

1-3

=3n-1，要证（3n+1）W_n≥nW_n+1，只需证3ⁿ≥2n+1，用数学归纳法证明即可．

解答： （Ⅰ）解：设等差数列的公差为d，∵cn=(-1)nSn，
∴T₂₀=-S₁+S₂-S₃+S₄+…+S₂₀=330，
∴a₂+a₄+a₆+…+a₂₀=330，
∴10(3+d)+

10×9

2

×2d=330，
解得d=3，∴a_n=3+3（n-1）=3n，…（4分）
∴q³=a₉=27，q=3，
∴bn=2•3n-1．…（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，Wn=

2(1-3n)

1-3

=3n-1，
要证（3n+1）W_n≥nW_n+1，
只需证（3n+1）（3ⁿ-1）≥n（3ⁿ⁺¹-1），
即证：3ⁿ≥2n+1．…（8分）
当n=1时，3ⁿ=2n+1，
下面用数学归纳法证明：当n≥2时，3ⁿ＞2n+1，
（1）当n=2时，左边=9，右边=5，左＞右，不等式成立，
（2）假设n=k（k≥2），3^k＞2k+1，
则n=k+1时，3^k+1=3×3^k＞3（2k+1）=6k+3＞2（k+1）+1，
∴n=k+1时不等式成立．
根据（1）（2）可知：当n≥2时，3ⁿ＞2n+1，
综上可知：3ⁿ≥2n+1对于n∈N^*成立，
∴(3n+1)Wn≥nWn+1(n∈N*)．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．