题目内容
已知函数f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），若a＞0，b＞0，证明：alna+blnb≥（a+b）ln
．
| a+b |
| 2 |
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,对数函数图象与性质的综合应用
专题：导数的综合应用
分析：通过函数的导数，利用函数的最小值，然后证明：对a＞0，b＞0，都有alna+blnb≥（a+b）ln
；
| a+b |
| 2 |
解答：
解：∵f（x）=xlnx+（4-x）ln（4-x），
∴f′（x）=lnx-ln（4-x）=ln
．
∴当x=2时，函数f（x）有最小值．a＞0，b＞0，
不妨设a+b=4，
则alna+blnb=alna+（4-a）ln（4-a）≥2•
ln（
）=（a+b）ln
．
∴alna+blnb≥（a+b）ln
．
∴f′（x）=lnx-ln（4-x）=ln
| x |
| 4-x |
∴当x=2时，函数f（x）有最小值．a＞0，b＞0，
不妨设a+b=4，
则alna+blnb=alna+（4-a）ln（4-a）≥2•
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
∴alna+blnb≥（a+b）ln
| a+b |
| 2 |
点评：本题考查函数的导数的应用，不等式的证明方法，考查转化思想的应用．
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