Question

关于x的函数y=cos²x-asinx+b，当a=-1时有零点，求此时实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：解法一：当a=-1时y=-sin²x+sinx+b+1，令t=sinx，t∈[-1，1]，则y=-t²+t+b+1，由方程-t²+t+b+1=0的根为

1± 4b+5

2

，可知：若关于x的函数y=cos²x-asinx+b有零点，则

1- 4b+5

2

∈[-1，1]，或

1+ 4b+5

2

∈[-1，1]，解得实数b的取值范围．
解法二：当a=-1时y=-sin²x+sinx+b+1，令t=sinx，t∈[-1，1]，则y=-t²+t+b+1，令b=t²-t-1，t∈[-1，1]，结合二次函数图象和性质，可得实数b的取值范围．

解答： 解法一：当a=-1时y=cos²x+sinx+b=-sin²x+sinx+b+1，
令t=sinx，t∈[-1，1]，
则y=-t²+t+b+1，
令y=-t²+t+b+1=0，解得t=

1± 4b+5

2

，
若关于x的函数y=cos²x-asinx+b有零点，
则

1- 4b+5

2

∈[-1，1]，或

1+ 4b+5

2

∈[-1，1]，
解得：b∈[-

5

4

，1]，
即满足条件的实数b的取值范围为[-

5

4

，1]．
解法二：当a=-1时y=cos²x+sinx+b=-sin²x+sinx+b+1，
令t=sinx，t∈[-1，1]，
则y=-t²+t+b+1，
令b=t²-t-1=（t-

1

2

）²-

5

4

，t∈[-1，1]，
故当t=

1

2

时，b有最小值-

5

4

，
当t=-1时，b有最大值1，
故b∈[-

5

4

，1]，
即满足条件的实数b的取值范围为[-

5

4

，1]．

点评：本题考查的知识点是函数的零点，二次函数的图象和性质，三角函数的图象和性质，是函数零点与三角函数的综合应用，难度中档．