Question

某商场准备举行促销活动，对选出的某品牌商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品价格的基础上将价格提高180元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率为

1

2

，请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利（顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额）？

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：假设商场中奖奖金数额定为x元，则顾客在3次抽奖中所获得奖金总额是随机变量X，其所有可能 的取值为：0，x，2x，3x，X=0时表示顾客在一次抽奖中都没有获奖，分别计算随机变量对应的概率，列出分布列求出X的期望值；要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金的期望值不大于商场的提价金额．

解答： 解：假设商场中奖奖金数额定为x元，则顾客在3次抽奖中所获得奖金总额是随机变量X，其所有可能 的取值为：0，x，2x，3x，X=0时表示顾客在一次抽奖中都没有获奖，所以P（X=0）=(

1

2

)3=

1

8

，
同理可得：P（X=x）=

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

3

8

，
P（X=2x）=

C

2 3

×(

1

2

)2×

1

2

=

3

8

，
P（X=3x）=（

1

2

）³=

1

8

，
所以随机变量X的分布列为

X	0	x	2x	3x
P	0.125	0.375	0.375	0.125

所以顾客在3次抽奖中所获得的奖金的总额的期望值为E（X）=0×0.125+x×0.375+2x×0.375+3x×0.125=1.5x，
要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金的期望值不大于商场的提价金额，因此应有1.5x≤180，解得x≤120，
所以商场 应该将中奖金额最高定为120元，才能使促销方案对自己有利．

点评：本题考查了随机变量的概率求法以及期望值的求法，体现了利用概率知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．