Question

已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|，不等式f（x）≥4的解集为M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当a，b∈M时，证明：|

a

2

+

2

b

|≥|

a

b

+1|．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：

分析：（Ⅰ）由题意可得 f（x）=

-2x  ， x＜-1 2  ， -1≤x＜1 2x  ， x≥1

，分类讨论求得不等式f（x）≥4的解集M．
（Ⅱ）由题意可得a²≥4，b²≥4，计算左边的平方减去右边的平方的结果大于或等于零，不等式得证．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得 f（x）=|x-1|+|x+1|=

-2x  ， x＜-1 2  ， -1≤x＜1 2x  ， x≥1

，
当x＜-1时，由-2x≥4，得x≤-2；
当-1≤x≤1时，由f（x）=2＜4可得不等式f（x）≥4无解；
当x＞1时，由2x≥4，得x≥2；
所以M={x|x≤-2，或x≥2}．
（Ⅱ）当a，b∈M时，即a²≥4，b²≥4，
∵(

a

2

+

2

b

)2-(

a

b

+1)2=

a2

4

+

4

b2

-

a2

b2

-1=

(a2-4)(b2-4)

4b2

≥0，
∴(

a

2

+

2

b

)2≥(

a

b

+1)2，∴|

a

2

+

2

b

|≥|

a

b

+1|．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，用比较法证明不等式，属于基础题．