Question

4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1），求椭圆的标准方程及其离心率．

Answer 1

分析 由题意设出椭圆方程，代入已知点的坐标联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；再由隐含条件求出c，则椭圆离心率可求．

解答 解：∵椭圆的焦点在x轴上，
∴可设它的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵椭圆经过点（2，0）和（0，1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{0}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{0}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
故所求椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
又a²=4，b²=1，∴$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单性质，是基础题．