Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1），向量$\overrightarrow{n}$是与$\overrightarrow{m}$垂直的单位向量．若向量$\overrightarrow{n}$与向量（1.2）的夹角b锐角，且与向量$\overrightarrow{p}$=（x-y²，$\sqrt{3}$x）垂直，则t=y²+5x²+4的最小值为4．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{n}$，根据$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{p}$得出x，y的关系，将t转化为二次函数求出最小值．

解答 解：设$\overrightarrow{n}$=（cosθ，sinθ），（θ∈[0，2π）），∵$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{m}$，∴$\sqrt{3}$cosθ+sinθ=0，即2sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0．∴$θ+\frac{π}{3}$=kπ，∴θ=$\frac{2π}{3}$，或θ=$\frac{5π}{3}$．
∵向量$\overrightarrow{n}$与向量（1.2）的夹角b锐角，∴cosθ+2sinθ＞0，∴θ=$\frac{2π}{3}$．∴$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∵$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{p}$，∴-$\frac{1}{2}$（x-y²）+$\frac{3x}{2}$=0，∴y²=-2x，∴t=y²+5x²+4=5x²-2x+4=5（x-$\frac{1}{5}$）²+$\frac{19}{5}$．
∵y²=-2x≥0，∴x≤0．∴当x=0时，t取得最小值4．
故答案为：4．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数的最值，属于中档题．