Question

15．已知函数f（x）=sinx（sinx+$\sqrt{3}$cosx）．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=1，a=2$\sqrt{3}$，求三角形ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化简f（x）；
（2）求出A，根据余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式即可．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，f（x）的最大值是$\frac{3}{2}$．
（2）∵f（$\frac{A}{2}$）=sin（A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵a²=b²+c²-2bccosA，∴12=b²+c²-bc，∴b²+c²=12+bc≥2bc，∴bc≤12．
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤3$\sqrt{3}$．
∴三角形ABC面积的最大值是3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的性质，解三角形，属于中档题．