Question

在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²-4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：由题意可得圆心为C（2，0），半径R=2；设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2

2

，
即

|2k-0+k|

k2+1

≤2

2

，由此求得k的范围．

解答： 解：∵C的方程为x²+y²-4x=0，故圆心为C（2，0），半径R=2．
设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC=

2

R=2

2

，
∴圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2

2

，
即

|2k-0+k|

k2+1

≤2

2

，解得k²≤8，可得-2

2

≤k≤2

2

，
故答案为：[-2

2

，2

2

]．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．