Question

正三角形ABC的边长为2

3

，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为

3

，此时四面体ABCD的外接球的体积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：球

分析：三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的体积即可．

解答： 解：根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，而且AD=

(2 3 )2-( 3 )2

=3，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面边长为

3

，
由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心为O，外接球的半径为r，
球心到底面的距离为

3

2

，
底面中心到底面三角形的顶点的距离为：

2

3

×

3

2

×

3

=1
∴球的半径为r=

( 3 2 )2+12

=

13

2

．
四面体ABCD外接球体积为：

4π

3

r3=

4π

3

×(

13

2

)3=

13 13 π

6

．
故答案为：

13 13 π

6

．

点评：本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．