题目内容

8．已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M（$\frac{3}{5}$，$\frac{6}{5}$）
（1）求直线12x-5y-1=0被圆C截得的弦长
（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点
（i）求证：$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$为定值
（ii）若|PN|2+|QN|2=24，求直线L的方程．

分析 （1）先求出圆的方程，再求直线12x-5y-1=0被圆C截得的弦长
（2）（i）设直线l的方程为y=kx（k＞0），与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x-3=0，利用韦达定理即可证明；
（ii）若|PN|2+|QN|2=24，利用韦达定理，求出直线的斜率，即可求直线L的方程．

解答 解：（1）由题意，C（a，0），z\则kCM=$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{3}{5}-a}$，
∴$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{3}{5}-a}$•（-$\frac{4}{3}$）=-1，∴a=-1，
∴C（-1，0），|CM|=2，即r=2，
∴圆C的标准方程为（x+1）2+y2=4．
圆心到直线12x-5y-1=0的距离为1，∴所求弦长为2$\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$；
（2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x-3=0，
∴x1+x2=-$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，x1x2=-$\frac{3}{1+{k}^{2}}$．
（i）$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2}{3}$为定值；
（ii）|PN|2+|QN|2=$（{x}_{1}-2）^{2}+（{y}_{1}-1）^{2}$+$（{x}_{2}-2）^{2}+（{y}_{2}-1）^{2}$
=$（1+{k}^{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}$-（4+2k）（x1+x2）+10=$\frac{12+4k}{1+{k}^{2}}$+16=24，
∴k=1或-$\frac{1}{2}$，
经检验k=1满足题意，
∴直线L的方程为y=x．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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