Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右焦点F（1，0）．设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P、Q两点，则PO=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：用点斜式写出FP的方程，再由OP⊥PM，斜率之积等于-1得到一个等式，把FP的方程代入等式化简，可得x²+y²=2，即可求出线段PO的长．

解答： 解：设点M（2，m），
∵F（1，0）
∴FP的方程为：y-0=

-2

m

（x-1）①，
∵过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点P，
∴OP⊥PM，∴k_OP•k_PM=-1，
即

y

x

•

y-m

x-2

=-1，∴x²+y²=2x+my  ②，
把①代入②得：x²+y²=2x+my=2x+m•

-2

m

（x-1）=2，
∴|OP|=

x2+y2

=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查椭圆的方程、直线和圆的位置关系的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．