Question

16．已知向量$\overrightarrow a$=（k，6）与向量$\overrightarrow b$=（3，-4）垂直，若$\overrightarrow c$=（x，y），（x＞0，且|${\overrightarrow c}$|=$\sqrt{65}}）$，向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow c$，在向量$\overrightarrow b$方向上的投影为1，则向量$\overrightarrow c$的坐标为（7，4）．

Answer 1

分析 跟姐姐向量垂直的关系转化为向量数量积求出k=8，根据向量投影的定义建立方程结合向量模长的公式建立方程组进行求解即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a$=（k，6）与向量$\overrightarrow b$=（3，-4）垂直，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=3k-4×6=0，即k=8，
即$\overrightarrow a$=（8，6），$\overrightarrow a$+$\overrightarrow c$=（8+x，6+y），
则向量$\overrightarrow a$+$\overrightarrow c$，在向量$\overrightarrow b$方向上的投影为
$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{3（8+x）-4（6+y）}{5}$=1，
即3x-4y=5，即y=$\frac{3x-5}{4}$
∵|${\overrightarrow c}$|=$\sqrt{65}}）$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{65}}）$，
即x²+y²=65，②
将y=$\frac{3x-5}{4}$代入x²+y²=65得x²+（$\frac{3x-5}{4}$）²=65
整理得5x²-6x-203=0，
得x=7或x=-$\frac{29}{5}$（舍），
此时y=4，
即向量$\overrightarrow c$的坐标为（7，4），
故答案为：（7，4）

点评 本题主要考查向量坐标的求解，根据向量垂直和向量投影的定义建立方程关系进行求解是解决本题的关键．运算量比较大．