Question

11．如图所示，AB是圆O的直径，延长BA至C，使AC=$\frac{1}{3}$BC，过C作圆O的切割线交圆O于M、N两点，且AM=MN．
（1）证明：∠AOM=∠ABN；
（2）若MN=2，求AN的长．

Answer 1

分析 （1）连接AN，说明AN⊥BN，BN∥OM，然后证明∠AOM=∠ABN．
（2）根据切割线定理得，CM×CN=CA×CB=3OA²，求出BN，在Rt△ABN中，求解AN即可．

解答 解：（1）连接AN，∵AB是圆O的直径，∴AN⊥BN，
∵AM=MN，∴OM⊥AN，∴BN∥OM，
∴∠AOM=∠ABN．
（2）∵$AC=\frac{1}{3}BC$，∴AC=AO，
∵OM∥BN，∴$\frac{CM}{MN}=\frac{CO}{BO}=2$，∴MN=2，∴CM=4，∴CN=6，
根据切割线定理得，CM×CN=CA×CB=3OA²，∴$OA=2\sqrt{2}$，又$\frac{OM}{BN}=\frac{2}{3}$，
∴$BN=3\sqrt{2}$，
在Rt△ABN中，AN²=AB²-BN²=32-18=14，
∴$AN=\sqrt{14}$．

点评 本题考查与圆有关的线段成比例问题，切割线定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．