Question

15．已知二次函数f（x）对一切x∈R都有f（2-x）=f（x），f（-1）=0且f（x）≥一1．
（1）求该二次函数解析式；
（2）若直线1过（1）中抛物线的顶点和抛物线与x轴左侧的交点，求直线l对应的函数关系式g（x）．

Answer 1

分析 （1）设二次函数解析式为：f（x）=ax²+bx+c，a≠0，根据已知构造方程组，解得a，b，c的值，可得f（x）的解析式；
（2）设直线1的解析式为：g（x）=kx+b，k≠0，根据直线1过（1）中抛物线的顶点和抛物线与x轴左侧的交点，构造方程组，解得k，b的值，可得g（x）的解析式；

解答 解：（1）设二次函数解析式为：f（x）=ax²+bx+c，a≠0，
∵对一切x∈R都有f（2-x）=f（x），f（-1）=0且f（x）≥-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=1\\ a-b+c=0\\ a＞0\\ \frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=-1\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{4}$，b=-$\frac{1}{2}$，c=-$\frac{3}{4}$，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$
（2）由（1）得抛物线的顶点坐标为（1，-1），
抛物线与x轴左侧的交点坐标为（-1，0），
设直线1的解析式为：g（x）=kx+b，k≠0，
∵直线1过（1）中抛物线的顶点和抛物线与x轴左侧的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}k+b=-1\\-k+b=0\end{array}\right.$，
解得：k=b=-$\frac{1}{2}$，
故直线l对应的函数关系式g（x）=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．